Группы алгебра

Определение. Группой  называется непустое множество, в котором для любых двух элементов  определен элемент  (произведение), причем:
                1) ;
                2) ;
                3) .
Примеры групп:
1)  - невырожденные матрицы размера  с комплексными коэффициентами – группа относительно операции умножения матриц;
2)  - целые числа – группа относительно операции сложения целых чисел;
3) Группа диэдра :
Рассмотрим на плоскости ортонормированный базис, приведем окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Впишем в нее правильный -угольник, одна из вершин которого находится в конце вектора .  - это все движения плоскости, переводящие этот -угольник в себя.
Убедимся в том, что это множество будет группой относительно композиции движений:
1) композиция движений ассоциативна;
2) в качестве единичного элемента можно взять тождественное движение;
3) в качестве обратного элемента можно взять обратное движение.
Рассмотрим эту группу более подробно. При любом таком движении центр -угольника остается на месте, следовательно, это ортогональное преобразование плоскости, т.е. либо поворот на некоторый угол, либо симметрия относительно некоторой прямой.
Т.к. при повороте вершина  должна перейти в какую-то вершину, то поворот может быть только на угол , где . Обозначим матицу поворота на угол  за . В качестве симметрии подходит, например, симметрия относительно оси , матрица такого преобразования .
Теорема. Группа  состоит из  элементов, а именно  и .
Доказательство.
Как уже говорилось, поворот может быть только на угол , где . Запишем матрицу такого поворота: , но ни что иное как . Следовательно  - это все повороты, входящие в группу .
Пусть теперь  - это какая-нибудь симметрия из группы . Тогда  тоже принадлежит этой группе, причем это ортогональная матрица и ее определитель равен . Следовательно, это поворот, т.е. . Т.к. , то , следовательно, все симметрии из  - это .
Мы доказали, что группа  не содержит ничего кроме элементов , докажем теперь, что все эти элементы различны. Все элементы  различны, т.к. это повороты на разные углы. Если , то , что невозможно. Если , то , а мы уже доказали, что это невозможно.
И последнее утверждение теоремы.  - это поворот на угол , т.е. тождественное движение. Т.к. , то это симметрия относительно некоторой прямой, но симметрия в квадрате это всегда тождественное движение, следовательно, .
Упражнение. Доказать, что .
                4) приведем пример еще одной группы – группы кватернионов . Рассмотрим матрицы .
               Упражнение. Доказать, что , , , . Доказать, что матрицы  образуют группу относительно операции умножения матриц.
                Упражнение. Докажите, что в любой группе единичный элемент  определен однозначно и для любого элемента  обратный элемент  также определен однозначно.
                Определение. Порядком группы  называется количество элементов в группе, обозначается .
Упражнение. Рассмотрим группу  - невырожденные матрицы  над полем из  элементов. Доказать, что ее порядок равен .
                Определение. Пусть  - группа. Непустое подмножество  в называется подгруппой, если              1) ;
                2) .
Замечание. Единичный элемент всегда принадлежит любой подгруппе. Т.к.  непустое, то там есть хотя бы один элемент . По свойству 2) , по свойству 1) .
                Упражнение. Докажите, что в любой группе пересечение любого числа подгрупп тоже будет подгруппой.
                Примеры подгрупп:
1) Группа . Ее подгруппы: ;  - вещественные матрицы с определителем единица; ;  - унитарные матрицы;  - унитарные матрицы с определителем единица;  - ортогональные матрицы; ; (;  - подгруппы в группе );
2)  - группа подстановок.  (четные подстановки) – подгруппа. В частном случае, если  множество  также будет подгруппой;
3)  - группа ненулевых комплексных чисел относительно умножения. Ее подгруппы:  - единичная окружность;  - корни из единицы.
Определение. Пусть  - элемент группы и  - целое число, тогда .
Теорема. Если , то  и .
Упражнение. Докажите теорему.
Определение. Пусть . Порядком элемента (обозначается  или ) называется наименьшее натуральное  такое, что . Если такого числа не существует, то элемент имеет бесконечный порядок.
Упражнение. Найдите порядок элемента .
Предложение. Пусть . Для целого числа  следующие условия эквивалентны:
1) ;
2) .
Доказательство.
. Пусть , , тогда .
. Пусть , где , тогда . Следовательно , т.к. иначе имели бы . Следовательно . .