Определение циклической подгруппы

Определение. Пусть . Циклической подгруппой , порожденной элементом , называется множество .
Это определение корректно, т.к.  - снова степень ,  - снова степень .
Определение. Группа  - циклическая, если  такой, что .
Примеры циклических групп:
1) , т.к. ;
2) , где .
Теорема. Пусть , тогда .
Доказательство.
Допустим, что найдутся такие  , что . Тогда  и . Следовательно, порядок элемента  конечен . Пусть  и , тогда . Следовательно, группа  состоит из элементов . Докажем, что они все различны. Пусть  и , тогда  и . Получили противоречие, следовательно , все элементы различны и всего из  штук, т.е. .
Если же все степени  будут различны, то .
Теорема. Любая подгруппа циклической группы сама является циклической.
Доказательство.
Пусть . Тогда  состоит из каких-то степеней элемента . Заметим, что если , то и . Если , то . Если же  содержит не только единичный элемент, то  содержит какой-то элемент , где  (в силу нашего замечания выше). Пусть  - наименьшее натуральное число такое, что . Пусть  и , где . Тогда . Если , то мы получаем противоречие с выбором числа , следовательно,  и . Следовательно .
Следствие 1. Пусть  и , тогда  такие, что .
Следствие 2. Пусть  (порядка ) и  - подгруппа в , тогда , причем .
Доказательство.
По теореме . Пусть , тогда . Следовательно . Докажем теперь включение в другую сторону. Пусть , но , следовательно . Следовательно , т.е. , причем .
Упражнение. Докажите, что , где .