Алгебра с умножением называется алгеброй Ли

Определение. Алгебра с умножением  называется алгеброй Ли, если это умножение не ассоциативно, антикоммутативно и выполняется тождество .
Примеры:
                1) Пусть  - ассоциативная алгебра с умножением , тогда введем умножение . Относительно этого нового умножения наша алгебра будет алгеброй Ли.
2)  - множество матриц размера  над полем  со следом ноль. Операция умножения , где  - обычное матричное умножение.
3)  - множество кососимметричных матриц. Умножение .
4) , операция умножения - векторное произведение .
                Определение. Пусть  - алгебра. Дифференцированием на  называется линейный оператор , такой что .
Упражнение. Если  и  - дифференцирования в алгебре , то их коммутатор  - снова дифференцирование. И все дифференцирования образуют алгебру Ли.
                Рассмотрим алгебру Ли , построим в ней базис: ,  и .
                Упражнение. Докажите, что , , .
                Теорема. Алгебра Ли  проста.
Доказательство.
                Пусть  - ненулевой идеал, и пусть  - ненулевой элемент.
1) Если , тогда . Следовательно,  и .
2) Если , то , далее аналогично получаем, что .
3) Если  и , то , а, следовательно, и . И опять .
Упражнение.  - простая алгебра Ли.