Евклидово пространство

Пусть нам задано евклидово пространство  размерности . Пусть нам также задана метрика , где  - скалярное произведение векторов  и . Движение пространства  - это биективное преобразование  пространства  , сохраняющее расстояние между векторами, т.е. .
                Упражнение. Будет ли произвольное преобразование, сохраняющее длины, биекцией?
                Теорема. Пусть  - движение, тогда , где  - ортогональное преобразование  и  - некоторый вектор. Также верно и обратное утверждение.
Доказательство этой теоремы было в курсе Линейной Алгебры.
                Рассмотрим множество  - все движения пространства .
                Теорема.  - группа относительно операции композиции преобразований.
Доказательство.
                Пусть  и , тогда  - снова движение.
Единичное преобразование - это тождественное преобразование.
Обратное преобразование - это .
                Рассмотрим множество  - множество всех сдвигов. Из формулы последней теоремы видно, что  - это подгруппа в . Рассмотрим также множество  - множество всех ортогональных преобразований , это множество также будет подгруппой в .
По первой теореме произвольное преобразование имеет вид . В этой записи вектор  определен однозначно, т.к. . Следовательно и ортогональное преобразование  определено однозначно. Это преобразование  называется дифференциалом преобразования  и обозначается .
Из формулы второй теоремы имеем, что , т.е. дифференциал обладает свойством мультипликативности.
                Теорема. Сопоставление движению  его дифференциала  является эпиморфизмом , причем ядро этого эпиморфизма равно .
Доказательство.
                То, что это гомоморфизм групп следует из свойства мультипликативности дифференциала. Если , то , следовательно этот гомоморфизм сюръективен (т.е. это эпиморфизм). Ядро - это все движения, дифференциал которых равен тождественному преобразованию, т.е. все движения вида , т.е. множество сдвигов .
                Следствие.  и .
                Предложение. .
Доказательство.
                Пусть  - сдвиг на вектор , сопоставим такому преобразованию этот вектор . Тогда, если - сдвиг на вектор ,  - сдвиг на вектор . Это сопоставление преобразованию вектора является биективным, следовательно .
                Определение. Подгруппа  в  называется кристалло-графической, если
1)  - дискретная подгруппа группы  ранга ,
2)  - конечная группа.
Опишем все кристалло-графические группы в двумерном случае.
                Предложение. Если  и , то .
Доказательство.
                Пусть  - сдвиг на , и  - преобразование с дифференциалом . Тогда , следовательно  (т.к.  - нормальна).
                Пусть  - базис в  (это также будет базис во всем линейном пространстве ). В группе  лежат все целочисленные комбинации этих векторов, т.е. целочисленная решетка, порожденная этими векторами. Предыдущим упражнением мы доказали, что группа  переводит эту решетку в себя. Матрица любого оператора  целочисленная в базисе , т.е.  - это целое число.
Группа  называется пространственной группой.
Группа  называется точечной группой.
                Теорема. Пусть  и  - группа ортогональных операторов с определителем  (т.е.  содержит только собственные преобразования). Тогда  - циклическая группа порядка .
Доказательство.
                Пусть - ортогональный базис пространства  и , тогда его матрица имеет вид . Кроме того, ее след  - целое число. Следовательно , т.е. . Укажем все возможные варианты группы  в зависимости о того, какие повороты в ней лежат:




повороты, лежащие в группе
элементы группы
порядок




1




2




3




4





6



                В этой таблице не все матрицы целочисленные, однако существуют такие базисы (для каждого случая он свой), что в них эти матрицы будут целочисленными. Например, в базисе , где вектор  повернут относительно  на угол  матрица поворота на угол  будет иметь вид  (тогда все матрицы в случае группы порядка 3), а если  повернут относительно на угол , то матрица поворота на угол  имеет вид  (тогда все матрицы в случае группы порядка 6 будут целочисленные).
                Теорема. Пусть  и , т.е. в  есть несобственное преобразование (преобразование с определителем ), тогда  - одна из следующих групп:
                1) ,
                2) ,
                3) циклическая группа порядка .
Доказательство.
                Пусть  и . Если  и , тогда .  - это отражение относительно некоторой оси, следовательно матрица  в некотором базисе имеет вид , но в любом базисе имеем .
Имеем, что , где .  - подгруппа индекса 2 в , следовательно  и . Т.к.  - это снова симметрия относительно некоторой оси, то  и , т.к. . Следовательно группа  - это группа диэдра.
В случае  эта группа превращается в группу .
В случае  это циклическая группа порядка 2.
                Покажем теперь, как можно получить все эти варианты групп  (пусть  - базис):
1) если  не перпендикулярны и имеют разные длины, то , где  - центральная симметрия;
2) если  перпендикулярны и имеют разные длины, то ;
3) если  перпендикулярны и имеют одинаковые длины, то ;
4) если  не перпендикулярны, имеют равные длины и не образуют правильный треугольник, то ;
5) если  образуют правильные треугольник, то .
6) также допустимы подгруппы этих групп, таким образом, получаются все указанные нами группы.
                Двумерный случай разобран полностью. Есть также теорема, утверждающая, что порядок конечной подгруппы в группе ортогональных матриц ограничен для каждого  числом  (в случае  имеем ), т.е. таких групп  конечное число для любого .
Приведем описание (без доказательства) трехмерного случая:
Пусть  - конечная подгруппа в , тогда  - это:
1) циклическая группа порядка ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .