Неабелевая группа

Определение.  Неабелевая группа называется простой, если в ней всего две нормальные подгруппы - единичная и сама группа.
Приведем несколько примеров простых групп:
Теорема. Группы  при  простые.
(группа  абелева, следовательно не простая; группа  содержит нормальную подгруппу , следовательно не простая).
Доказательство.
               Лемма 1. Подгруппа  порождается тройными циклами.
               Доказательство.
Мы знаем, что каждая подстановка есть произведение циклов длины 2 (транспозиций). Т.к. подстановки в  четны, то они равны произведению четного числа транспозиций. Рассмотрим произведение двух транспозиций:
, если  различны,
, если  различны,
.
Т.е. сгруппировав транспозиции по две, мы получим произведение циклов длины 3.
                Пусть в  существует нормальная подгруппа , причем .
               Лемма 2. Если  содержит тройной цикл (), то .
               Доказательство.
Возьмем произвольный тройной цикл , возьмем , такую что  или , далее все элементы переходят в себя. Одна из таких подстановок будет четной, выберем ее. Получим , т.к. . Следовательно подгруппе  принадлежат все тройные циклы, следовательно (по лемме 1), .
               Лемма 3. Если  содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы встречается цикл длины , то .
               Доказательство.
Пусть , тогда . Т.е.  содержит цикл длины 3, следовательно (по лемме 2), .
               Лемма 4. Если  содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы содержится хотя бы два цикла длины 3, то .
               Доказательство.
Пусть , тогда . Т.е.  содержит цикл длины 5, следовательно (по лемме 3), .
               Лемма 5. Если  содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы содержится один цикл длины 3 и циклы длины 2, то .
               Доказательство.
Пусть , тогда , следовательно (по лемме 2), .
               Лемма 6. Если  содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы содержатся только циклы длины 2, то .
               Доказательство.
Если , то, т.к. у нас не менее пяти символов, . Тогда , следовательно (по лемме 2), .
Если , то , следовательно (по лемме 4), .
                Теперь, собственно, докажем теорему. Возьмем произвольную . Она удовлетворяет условию одной из наших лемм, следовательно . Теорема доказана.
                Приведем еще один пример простой группы: группа  - ортогональных симметричных матриц.
                Определение. Коммутатором элементов  из группы  называется элемент .
Упражнение. .
                Предложение. В  имеем , если  различны.
Доказательство.
                .
                Предложение. В группе  имеем , если  различны.
Доказательство.


                Определение. Коммутант группы -  (или ) - это множество всех произведений коммутаторов.
Предложение. .
                Доказательство.
                Пусть  и , тогда
. И, т.к. , то
. Следовательно  - это подгруппа, докажем теперь ее нормальность.
Пусть , тогда .
 - снова коммутатор, следовательно   равно произведению коммутаторов, т.е. .
                Теорема.
                1)  при  и  при .
                2)  при .
Доказательство.
                1) ,  - четная подстановка, следовательно, . Более того мы доказали ранее, что  и что любая четная подстановка является произведением тройных циклов, т.е. произведением коммутаторов. Следовательно .
Имеем, что , следовательно  либо единичная, либо совпадает с . Но  - это неабелевая группа, следовательно , следовательно .
2) ,  имеет определитель равный единице, следовательно . Более того мы знаем, что , если . Следовательно . Из этого же соображения получаем, что .
Упражнение. Докажите, что .
Лекция 6 (8.10.2001)
                Предложение. Пусть , тогда следующие условия эквивалентны:
1)  - абелева;
2) .
Доказательство.
                Напишем цепочку эквивалентных утверждений:  - абелева
.