Внешнее произведение групп

Определение. Пусть заданы группы . Пусть , т.е.  с операцией . Множество  с этой операцией называется внешним произведением групп .
                Теорема.  - группа.
Доказательство.
                Единичный элемент - , обратный элемент .
                Рассмотрим множества .
                Упражнение. Докажите, что , отображение  задает изоморфизм  и  и  - прямое произведение. Таким образом прямые и внешние произведения можно отождествлять.
                Теорема (факторизация по множителям). Пусть ,  и пусть , тогда  и .
Доказательство.
                Рассмотрим отображение , если , то . Пусть , тогда  и , следовательно  - это гомоморфизм, причем сюръективный, т.к. . Ядро этого гомоморфизма - это , т.е. . Следовательно,  и по теореме о гомоморфизме .
                Упражнение. Докажите, что циклические группы порядка  изоморфны , бесконечные циклические группы изоморфны , кроме того .