Дискретные подгруппы в алгебре

ДИСКРЕТНЫЕ ПОДГРУППЫ В
Определение. Аддитивная подгруппа  в  называется дискретной, если существует окрестность нуля , такая что , т.е. в некоторой окрестности нуля нет ни одного элемента подгруппы  кроме нулевого.
Теорема. Дискретная подгруппа в  свободна.
Доказательство.
                Пусть  - максимальная независимая (над ) система векторов из . Если , то , где . Разложим  на целые и дробные части: , где , следовательно, . Рассмотрим множество  - компакт.
Лемма.  - конечно.
Доказательство.
Если  бесконечно, то в  существует сходящаяся последовательность , следовательно  - последовательность Коши, т.е. . Следовательно в любой окрестности нуля  будут элементы из , что противоречит дискретности . Следовательно  конечно.
                Таким образом, получили, что  - конечно-порожденная группа (порождается элементами  и ) и у нее нет элементов конечного порядка. Следовательно она свободна.
                Теорема. Пусть  - дискретная подгруппа в  и  - базис в . Тогда  - линейно независимы над .
Доказательство.
                Пусть эти вектора линейно зависимы, т.е. без ограничения общности можем считать, что , . Рассмотрим множество , по лемме  - конечно. Для любого целого  имеем, что . Этих остатков, принадлежащих , конечное число, следовательно , такое что , здесь , следовательно . Следовательно  линейно зависимы над, что невозможно.