Кольцо называется коммутативным, ассоциативным, антикоммутативным. Кольцо Ли в алгебре

Кольцом называется абелевая группа по сложению с операцией умножения , для которой выполнены следующие свойства:  и .
Кольцо называется коммутативным, если .
Кольцо называется ассоциативным, если .
Кольцо называется антикоммутативным, если .
Кольцо называется кольцом Ли, если .
В любом кольце . Действительно  и .
Элемент  в кольце называется единицей, если .
                Определение. Полем называется коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей, в котором у каждого ненулевого элемента есть обратный.
Определение. Телом называется ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.
Примеры:
               
                 - поле кватернионов. Это действительно будет полем, т.к. , если матрица ненулевая, следовательно у нее существует обратная: .
                Определение. Пусть  - поле. Кольцо , являющееся векторным пространством над , называется - алгеброй, если .
Упражнение. В антикоммутативной алгебре (кольце) выполнено тождество .
                Упражнение. Пусть  - ассоциативная алгебра, положим . Докажите, что  относительно нового умножения  является алгеброй Ли.
                Определение. Элемент  алгебры  с единицей называется обратимым, если .
Определение. Элемент  называется левым (правым) делителем нуля, если  ().
Предложение. Все обратимые элементы ассоциативной алгебры с единицей образуют группу по умножению. Обратимый элемент не может быть делителем нуля.
Доказательство.
                Если  - обратимы, тогда  - обратим, .
Если  - обратим, то и  - обратим, .
Следовательно это действительно группа по умножению.
Пусть  обратим и , тогда , что противоречит определению делителя нуля.
                Определение. Алгебра называется областью, если в ней нет делителей нуля.
Определение. Подалгеброй в алгебре  называется подпространство, являющееся кольцом, для которого выполнены свойства:
                1) ,
                2)  не пусто.
Пусть  - ассоциативная -алгебра с единицей, и пусть . Рассмотрим множество  - все такие конечные суммы.
                Упражнение.  является наименьшей подалгеброй с единицей в , содержащей элемент .
                Определение. Идеалом  кольца (алгебры) называется подгруппа аддитивной группы (подпространство), такая что если , , то  и . Т.е. идеал выдерживает умножение слева и справа на все элементы кольца (алгебры).
Определение. Кольцо (алгебра) называется простым, если в нем всего два идеала: 0 и оно само.
Предложение. Пусть в ассоциативной алгебре с единицей идеал содержит обратимый элемент, тогда идеал совпадает со всей алгеброй.
Доказательство.
                Пусть  - обратимый и . Если , то , следовательно .
                Следствие. Любое тело, любое поле всегда просты.
                Пусть  - ассоциативная коммутативная алгебра с 1 и . Рассмотрим множество .
                Упражнение.  - идеал в , содержащий .
                 называется главным идеалом, порожденным элементом .
Лекция 12 (19.11.2001)
                Определение. Коммутативная ассоциативная область (без делителей нуля) с единицей называется кольцом (алгеброй) главных идеалов, если в нем любой идеал главный.
Например в кольце целых чисел  любой идеал всегда подгруппа, т.е. , т.е. любой идеал главный и это кольцо главных идеалов.
                Теорема. Пусть  - поле. Тогда  - кольцо главных идеалов.
Доказательство.
                Пусть  и . Пусть  - многочлен наименьшей степени. Пусть , тогда мы можем поделить  на  с остатком: , где либо , либо . Но , следовательно, . Т.к. у  была наименьшая степень, то , т.е. . Следовательно  - главный идеал, порожденный многочленом  и  - кольцо главных идеалов.
                Упражнение. Доказать, что кольцо  не является кольцом главных идеалов. Указание: рассмотреть идеал  - все многочлены с нулевым свободных членов и доказать, что он не является главным.
                Рассмотрим кольцо .
                Теорема.  - кольцо главных идеалов.
Доказательство.
                Выведем на этом множестве аналог алгоритма Евклида (деление с остатком). Введем норму , тогда .
               Лемма. Пусть , тогда  существуют такие , что , причем .
               Доказательство.
               Рассмотрим все числа вида . Получим что-то типа решетки, сторона квадрата - это . Возьмем произвольное число . Оно попадет в один из таких квадратов, тогда расстояние от не до какой-то вершины квадрата будет не больше .
В качестве числа  возьмем такое число, чтобы  была эта вершина.  - вектор от этой вершины до . Тогда .

                Пусть теперь , . Выберем  такое, что его норма минимальна. Далее рассуждая также как и в прошлой теореме с многочленами (применяя описанное выше деление с остатком), получаем, что все остальные числа делятся на него, т.е.  - главный идеал и  - кольцо главных идеалов.
                Теперь мы перейдем к рассмотрению некоммутативных колец. Пусть  - ассоциативное кольцо с единицей, . Пусть  - квадратные матрицы с коэффициентами из кольца .
                Упражнение. .
                Теорема. Пусть . Тогда , такой что .
Доказательство.
                Пусть . Докажем, что . Пусть  и , тогда , следовательно, . Аналогично , следовательно, .
Пусть , тогда . Следовательно, , т.е. все коэффициенты матриц из  содержатся в идеале . Следовательно . Пусть ,  - произвольная матрица из . Тогда . Следовательно , т.е. .
                Напомним, что кольцо (алгебра)  называется простым, если в нем только два идеала: ноль и оно само.
                Следствие. Если  - тело, то  - простое кольцо.
                Определение. Отображение  называется гомоморфизмом алгебр, если
                1) ,
                2) ,
                3) .
Изоморфизмом  называется биективный гомоморфизм.
Автоморфизмом называется изоморфизм алгебры на себя.
Мономорфизмом называется инъективный гомоморфизм.
Эпиморфизмом называется сюръективный гомоморфизм.
Ядром гомоморфизма называется полный прообраз нуля .
Предложение. .
                Доказательство.
                Пусть , тогда .
Пусть , , тогда .
                Упражнение.  тогда и только тогда, когда  - мономорфизм.
                Пусть , где  - тело. Тогда , но в  всего для идеала: ноль и оно само. Следовательно, либо  - нулевой, либо мономорфизм.
                Пусть , тогда  - подгруппа в  (по сложению), причем нормальная, следовательно  - факторгруппа (по сложению), т.е. . Тогда

                Предложение. Умножение  и умножение на скаляры  определены корректно.
Доказательство.
                , .
, , .
.
Следовательно умножение  определено корректно.
.
Следовательно умножение на скаляры  определено корректно.
                Идеалы и факторгруппы строятся в любом кольце (не только в ассоциативном или коммутативном).  - факторалгебра (факторкольцо).
Рассмотрим гомоморфизм , т.ч.  (естественный гомоморфизм).
                Упражнение.  является эпиморфизмом и .
                Теорема (о гомоморфизме). Пусть , тогда  - подалгебра, изоморфная .
Доказательство.
                Определим изоморфизм  следующим образом:  (см. теорему о гомоморфизме в теории групп). Проверим некоторые свойства изоморфизма (остальные проверены в теории групп):

, следовательно это изоморфизм.
                Примеры:
1) . Гомоморфизм , где  - остаток от деления  на , тогда .
2) . Гомоморфизм , где , тогда .
3) . Гомоморфизм , где , тогда .
                Если  - подполе в , тогда  является алгеброй над . Все автоморфизмы  как алгебры над  образуют группу Галуа .