Теорема: Любая целочисленная прямоугольная матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к диагональному виду

Теорема. Любая целочисленная прямоугольная матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к диагональному виду , где .
Доказательство. (по индукции по числу строк)
                База индукции . Матрица имеет вид . Если она нулевая, то она уже имеет искомый вид. Если она не нулевая, то без ограничения общности можем считать, что  - это наименьший по модулю ненулевой элемент (иначе переставим столбцы). Также мы можем считать, что  (иначе умножим столбец на ), таким же образом сделаем все элементы положительными. Пусть , где . Вычитая из второго столбца , получим строку . Если 0, то наименьший модуль ненулевого элемента уменьшился, проделывая эту операцию несколько раз, получим, что модуль больше не может уменьшаться, т.к. он больше нуля. Следовательно, , и мы получим строку . Проделав это несколько раз, мы в итоге получим строку , поменяв местами столбцы, получим  - диагональная матрица, причем .
                Индуктивный переход. Пусть утверждение теоремы верно для  строк, докажем его для  строк. Мы имеем матрицу Обозначим через . Предположим, что привели  к  так, что дальше  не уменьшается. Переставив строчки и столбцы и, если надо, умножив на , получим, что это минимум достигается на элементе , причем . Тогда мы получим, что , если .
               Лемма. Все элементы первой строки  и первого столбца  делятся на .
               Доказательство.
Возьмем произвольный элемент из первой строки , получим, что , где . Если , то вычтя из -го столбца первый, умноженный на , получим на месте  число , следовательно  уменьшилось, что невозможно. Значит  и все элементы первой строки делятся на . Аналогично доказываем и про первый столбец.
                Раз все элементы первой строки и первого столбца делятся на , то вычитая первую строку (умноженную на нужный коэффициент) из остальных, и вычитая первый столбец (умноженный на нужный коэффициент) из остальных, получим матрицу , причем . Дальше, по предположению индукции, мы можем привести к диагональному виду матрицу , состоящую из  строк. В итоге получим искомое разложение.
                Упражнение. Число  равно набольшему общему делителю всех элементов матрицы.
                Пример:
                Приведем к диагональному виду матрицу , имеем, что НОДу всех элементов . Следовательно,  можно получить (например, умножив первый столбец на  и прибавив к нему второй): , ну а дальше будем действовать по алгоритму из доказательства теоремы:
.
                Теорема. Пусть  - свободная абелевая группа и  - ее подгруппа, тогда в  существует такой базис , что существуют , такие что  - базис в .
Доказательство.
                Пусть  - базис в . Пусть  - базис в , тогда
. Получим целочисленную матрицу , приведем ее к диагональному виду . При проведении элементарных преобразований, мы просто перешли к новому базису в  и в , таким образом, мы нашли базис  в , такой что  будет базисом в .
                Вспомним определение конечно-порожденной абелевой группы и докажем
                Теорема.  Пусть  - конечно-порожденная абелевая группа, тогда  является прямой суммой свободной абелевой группы и примарных циклических групп (циклических групп, порядок которых равен степени простого числа).
Доказательство.
                Пусть , т.е.  порождена элементами .  - свободная абелевая группа с базисом . Построим гомоморфизм  по правилу . Очевидно, что отображение  сюръективно. Его ядро  является подгруппой в . Пусть  - базис в , такой что  - базис в  (здесь  и ). В итоге имеем, что

, здесь положим  при .
 (по теореме о факторизации слагаемых).
Рассмотрим отдельное слагаемое , следовательно
. Вообще говоря группы  могут быть и не примарными, но в этом случае они раскладывают дальше в прямую сумму примарных циклических групп.
                Следствие. Конечная абелевая группа является прямой суммой примарных циклических групп.
Доказательство.
                Любая конечная абелевая группа является конечно-порожденной. И т.к. свободная абелевая группа счетная, то ее нет в разложении, предложенном в теореме. Следовательно, остаются только примарные циклические группы.
                Пример.
                Возьмем группу  порядка , тогда возможны следующие варианты:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Следовательно всего существует 6 не изоморфных абелевых групп порядка .
                Определение. Группа  не имеет кручения, если она не содержит неединичных элементов конечного порядка.
Теорема. Конечно-порожденная абелевая группа без кручения является свободной.
Доказательство.
                По предыдущей теореме имеем, что , следовательно этих слагаемых нет и  - свободная абелевая группа.